RELASI - MATEMATIKA DISKRIT

TI Politala Matdis 1B

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT. Karena dengan Rahmat dan Karunia-Nya, penulis dapat menyelesaikan pembuatan artikel dengan judul “Relasi” hingga selesai.

Dengan diberikannya tugas pembuatan artikel di sebuah blog, mahasiswa diharapkan mampu mempelajari lebih banyak lagi materi mengenai relasi, dan mampu menyelesaikan tugas mata kuliah matematika diskrit yang diberikan oleh dosen.

Semoga dengan pembuatan artikel ini dapat bermanfaat khususnya bagi penulis selaku mahasiswa dan umumnya bagi kita semua.

Selanjutnya penulis, merasa bahwa artikel relasi ini jauh dari kesempurnaan. Oleh sebab itu, penulis mohon maaf sebesar-besarnya apabila dalam penyusunan artikel ini terdapat banyak kesalahan, baik dalam segi penulisan, pembahasan, dan penyusunannya yang kurang rapi. Maka dari itu besar harapan penulis semoga artikel ini dapat bermanfaat bagi penulis dan orang lain.

13 Oktober 2018

 

 

 

 

BAB I
PENDAHULUAN

1.    Latar Belakang

Matematika sebagai ilmu sains yang dapat berbentuk ilmu terapan jika diimplementasikan pada cabang ilmu lain. Relasi adalah salah satu bagian dari ilmu matematika diskrit yang menarik untuk dipelajari. Dimana relasi merupakan suatu hubungan.

Dalam kehidupan sehari-hari pasti ada suatu hubungan yang terjadi. Misal “sekumpulan anak kecil yang sedang bermain dan setiap anak memegang balon berbagai warna”. Dari ini dapat diberikan pengertian bahwa sekumpulan anak kecil yang mempunyai hubungan dengan balon berbagai warna yang mereka pegang. Sebelumnya telah dipelajari materi tentang himpunan. Himpunan adalah sekumpulan benda atau obyek yang dididefinisikan dengan jelas. Disini terdapat dua himpunan, yang pertama adalah himpunan anak-anak kecil dan yang kedua adalah himpunan balon berbagai warna.

Pengertian dasar tentang hubungan antar objek diskrit adalah relasi. Relasi digunakan untuk menyatakan suatu hubungan antara dua himpunan. Relasi merupakan teori dasar dalam pembahasan matematika diskrit. Maka perlu untuk membahas relasi. Baik dari definisi relasi, representasi relasi dan sifat-sifat relasi biner. Oleh karena itu relasi  tersebut menjadi salah satu dasar dalam pembahasan matematika diskrit.

2.    Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis merumuskan beberapa masalah sebagai berikut :

1.      Apa pengertian relasi ?

2.      Apa saja metode untuk menyatakan relasi ?

3.      Apa saja sifat-sifat relasi ?

4.      Apa saja komposisi relasi ?

5.      Bagaimana contoh dari relasi ?

3.    Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah yang telah disebutkan di atas, maka tujuan dari penulisan makalah ini yaitu :

1.      Untuk mengetahui pengertian relasi

2.      Untuk mengetahui metode-metode untuk menyatakan relasi

3.      Untuk mengetahui sifat-sifat relasi

4.      Untuk mengetahui komposisi relasi

5.      Untuk mengetahui contoh dari relasi

 

 

 

 

BAB II
PEMBAHASAN

1.    Pengertian Relasi

Relasi adalah hubungan antara dua elemen dan dua himpunan. Relasi juga dikatakan sebagai suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

Contoh :

Ada tiga anak yang menyatakan makanan kesukaannya yaitu : Anis menyukai Bakso, Rina menyukai Sate dan Diko menyukai Nasi Padang.

Dari pernyataan di atas terdapat dua himpunan yaitu :

A = himpunan anak {Anis,Rina,Diko}

B = himpunan makanan {Bakso. Sate, Nasi Padang}

Relasi antara anggota himpunan A ke himpunan B yang mungkin adalah menyukai atau menyenangi.

Dari contoh di atas, himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan). Sementara itu menyukai disebut Relasi. Himpunan semua anggota kodomain disebut Range (daerah hasil).

2.    Metode Menyatakan Relasi

Relasi dapat dinyatakan dengan empat cara, yaitu :

Contoh :

A = { Buyung, Doni, Vita, Putri}   dan B = { IPS, Kesenian, Keterampilan, Olahraga, Matematika, IPA, Bahasa Inggris} dan relasi yang menghubungkan antara himpunan A dan hipunan B adalah “pelajaran yang disukai”

Keterangan : Buyung suka IPS dan Kesenian, Doni suka Keterampilan dan Olahraga, Vita suka IPA, dan Putri suka Matematika dan Bahasa Inggris.

Jawaban dengan tiga metode :

a.    Dengan himpunan pasangan berurutan

Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.

{(Buyung, IPS), (Buyung, Kesenian), (Doni, Keterampilan), (Doni, Olahraga), (Vita, IPA), (Putri, Matematika), (Putri, Bahasa Inggris)}

b.    Dengan Diagram Panah

Langkah-langkah menyatakan relasi dengan diagram panah :

·         Membuat dua lingkaran atau elips

·         Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B

·         X dan Y dihubungkan dengan anak panah

·         Arah anak panah menunjukkan arah relasi

·         Anak panah tersebut mewakili aturan relasi

 

c.     Dengan diagram Cartesius

Pada diagram Cartesius diperlukan dua salip sumbu yaitu : sumbu mendatar (horizontal) dan sumbu tegak (vertical) yang berpotongan tegak lurus.

·         X= A diletakkan pada sumbu mendatar

·         Y= B diletakkan pada sumbu tegak

·         Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah Noktah (titik) yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan x,y.

d.    Dengan Tabel

NAMA	MATA PELAJARAN
Buyung	IPS
Buyung	Kesenian
Doni	Keterampilan
Doni	Olahraga
Vita	IPA
Putri	Matematika
Putri	Bahasa Inggris

3.    Sifat-sifat Relasi

a.    Relasi Refleksif ( Bercermin)

Relasi disebut refleksif jika dan hanya jika untuk setiap x anggota semesta-nya, x berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi R refleksif jika dan hanya jika xRx.

Contoh :

Jika diketahui A= {1,2,3,4} dan relasi R= {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} Pada A, maka R x∈A adalah refleksif, karena untuk setiap x∈A terdapat (x,x) pada R.
Perhatikan relasi pada himpunan = {1,2,3,4} berikut:

R1= {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}

R2= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}

Relasi-relasi tersebut merupakan relasi refleksif karena memiliki elemen (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4).

b.    Relasi Irrefleksif

Relasi R pada A disebut Irrefleksif (anti refleksif) jika dan hanya jika setiap elemen di dalam tidak berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi, irrefleksif jika dan hanya jika xRx.

Contoh :

Diketahui himpunan B= {a,b,c} dan relasi R= {(a,c), (b,c), (b,a)}. Relasi R adalah irrefleksif, karena (a,a), (b,b), dan (c,c) bukan elemen.

Diketahui A= {1,2,3,4} dan relasi R= {(2,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}. Relasi R merupakan relasi irrefleksif, karena tidak terdapat elemen (x,x), dimana x∈A.

c.     Relasi Nonrefleksif

Relasi R pada A disebut nonrefleksif  jika dan hanya jika ada sekurang-kurangnya satu elemen di dalam A  yang tidak berelasi dengan dirinya sendiri.

Contoh :

Perhatikan relasi pada himpunan A= {1,2,3,}

R= {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)}

Relasi tersebut merupakan relasi non refleksif, karena ada (1,2) dan (2,3).

d.    Relasi Simetri

Relasi R disebut simetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku jika a berelasi R dengan b maka b juga berelasi dengan a.

Secara simbolik: aRb → bRa.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (b,a), (a,c), (c,a) } dalam himpunan {a, b, c}.
2. Ani menyukai Budi, Budi menyukai Ani {(Ani,Budi),(Budi,Ani)}

e.    Relasi Asimetri

Relasi R disebut asimetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku : jika a berelasi R dengan b maka b tidak berelasi R dengan relasi a.

Secara simbolik: R asimetri pada S jhj (∀a,b∈S) aRb → bRa.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (b,c), (c,a) } dalam himpunan { a,b,c }.

f.     Relasi Nonsimetri

Relasi R disebut nonsimetri pada S jika dan hanya jika ada dua anggota a dan b dari S sedemikian hingga berlaku: a berelasi R dengan b tetapi b tidak berelasi R dengan a.

Perhatikan bahwa nonsimetri adalah negasi/ingkaran dari simetri.

Contoh:

1. Relasi R = { (a,b), (a,c), (c,a) } dalam himpunan {a, b, c}

g.    Relasi Antisimetri

Relasi R disebut antisimetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku: jika a berelasi R dengan b dan b berelasi R dengan a maka a=b.

Contoh:
1.  A = keluarga himpunan.

Relasi “ himpunan bagian” adalah relasi yang antisimetris pada A, karena  untuk setiap dua himpunan x dan y, jika x y dan y x, maka x = y.

2. Relasi “kurang dari atau sama dengan (≤)” dalam himpunan bilangan real. Jadi, relasi “kurang dari atau sama dengan (≤)” bersifat anti simetri, karena jika a ≤ b dan b ≤ a berarti a = b.

3. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat asli N merupakan contoh relasi yang tidak simetri karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sementara itu, relasi “habis membagi” merupakan relasi yang anti simetri karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.

h.    Relasi Transitif

R adalah relasi pada A. R disebut relasi Transitif pada A jika dan hanya jika setiap 3 anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) jika (a,b)∈R, dan (b,c)∈R maka (a,c)∈R (setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka a berelasi dengan c).

Contoh:
1. Relasi R = {(a,b), (b,c), (a,c), (c,c) } dalam himpunan { a,b,c }.

i.      Relasi Nontransitif

R adalah relasi pada A. R disebut relasi nontransitif pada A jika dan hanya jika ada tiga anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) sedemikian hingga (a,b)∈R , dan (b,c)∈R dan (a,c)∉R (ada tiga anggota a,b,c dari A sedemikian hingga a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c dan a tidak berelasi dengan c).

Contoh:
R = {(1,2),(2,3),(3,4)} dalam himpunan { 1,2,3,4}

j.      Relasi Intransitif

R adalah relasi pada himpunan A. R disebut relasi intransitif pada A jika dan hanya jika setiap tiga anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) jika (a,b)∈R dan (b,c)∈R maka (a,c)∉R (setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka a tidak berelasi dengan c).

Misal E = {1,2,3}, R = {(1,2),(2,3),(2,5),(3,4),(5,7)}

Relasi di atas intransitif karena :

(1,2)∈R dan (2,3)∈R, tetapi (1,3)∉R

(1,2)∈R dan (2,5)∈R, tetapi (1,5)∉R

(2,3)∈R dan (3,4)∈R, tetapi (2,4)∉R

(2,5)∈R dan (5,7)∈R, tetapi (2,7)∉R

4.    Komposisi Relasi

Misalkan :

R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B

T adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.

Komposisi R dan S, dinotasikan dengan T ο R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh :

T ο R = {(a, c) | a ∈ A, c ∈ C, dan untuk suatu b ∈ B sehingga (a, b) ∈ R dan  (b, c) ∈ S }

Contoh komposisi relasi

Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan C = {s, t, u}

Relasi dari A ke B didefinisikan oleh :

R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)}

Relasi dari B ke C didefisikan oleh :

T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

Maka komposisi relasi R dan T adalah

T ο R = {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}

BAB III
PENUTUP

1.    Kesimpulan

Setelah menyelesaikan artikel yang berjudul Relasi, maka dapat di simpulkan sebagai berikut :

Relasi adalah hubungan antara dua elemen dan dua himpunan. Relasi juga dikatakan sebagai suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

Dalam menentukan sebuah relasi dapat dinyatakan dengan empat metode yaitu: dengan himpunan pasangan berurutan, dengan diagram panah, dengan diagram cartesius, dan dengan tabel.

Selain itu relasi juga mempunyai beberapa sifat yaitu: Relasi Refleksif (Bercermin), Relasi Irrefleksif, Relasi Nonrefleksif, Relasi Simetri, Relasi Asimetri, Relasi Nonsimetri, Relasi Antisimetri, Relasi Transitif, Relasi Nontransitif, dan Relasi Intransitif.

DAFTAR PUSTAKA

Nuranisa, I. (2017, Februari 24). Relasi dan Fungsi. Retrieved from www.irmaanisaa.com: http://irmaanisaa.com/2017/02/v-behaviorurldefaultvmlo.html